8.1 - Velocidad y aceleración angulares m5x4u

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 8. Movimiento de rotación.

Apartado 1. Velocidad y aceleración angulares.

En el tema anterior vimos cómo se podía definir un punto llamado centro de masas, que puede usarse para estudiar la traslación de un conjunto de partículas en general.

Ahora vamos a entrar dentro del sistema para examinar los movimientos de las partículas en torno al centro de masas, lo que llamamos rotación. No tiene por qué ser siempre centro de masas, como veremos con algún ejemplo, pero habitualmente lo es.

El primer problema que se nos plantea es que, en general, la aceleración lineal de una partícula no será constante. Incluso si su módulo fuese constante, su dirección no tendría por qué serlo, de modo que las componentes cartesianas de la aceleración no serán constantes, y por lo tanto tendremos problemas a la hora de hallar velocidades o posiciones.

Es el problema de siempre. Sin embargo, en muchas ocasiones las rotaciones se llevan a cabo de forma que la trayectoria de la partícula es circular. Eso significa que si cambiamos de coordenadas cartesianas a coordenadas polares, el estudio del movimiento se puede simplificar. Esto es algo que adelanté en el tema 5, el de aplicación de las leyes de Newton.

Introduje el concepto de radian y comenzamos a entrever que el uso de coordenadas polares podía simplificar los cálculos en los movimientos circulares. Ahora vamos a ampliar aquello. Antes de nada, recuerda lo que eran las coordenadas polares. Es algo que comenzamos a ver en el tema 3, el de cinemática en 3 dimensiones.

Para resumir, en coordenadas polares nos fijamos en el vector de posición, que es el que va del origen de coordenadas al punto donde está el cuerpo, y en el ángulo que indica la dirección de ese vector. En lugar de las componentes x e y, tenemos el módulo del vector de posición, r, y el ángulo, theta, una distancia y una dirección.

Cuando tenemos un movimiento circular, las coordenadas polares nos simplifican el estudio del movimiento. ¿Por qué? Porque si ponemos el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia, la distancia r va a ser siempre la misma, no va a cambiar con el tiempo, y por tanto podemos olvidarla. Solo necesitamos preocuparnos de analizar lo que le pasa al ángulo theta.

Vamos a utilizar radianes como unidad angular. Recuerda, el ángulo de un radian es aquel para el que el arco del ángulo es igual en longitud al radio r, es igual a 180 grados partido por pi, unos 57 grados y pico. Lo que vamos a hacer es lo de siempre, dejamos pasar un tiempo delta de t y la posición habrá cambiado. Como el radio es el mismo, solo habrá cambiado el ángulo, que pasará de theta sub 1 a theta sub 2.

El ángulo habrá cambiado en una cantidad delta de theta, que será el desplazamiento angular. Si lo dividimos por el tiempo transcurrido, delta de theta entre delta de t, tenemos una cantidad que nos dice cómo de rápido cambia la posición del cuerpo en un intervalo de tiempo. Es igual que lo que hicimos con la velocidad media hace tiempo, solo que ahora será una velocidad angular media.

Y a continuación, algo que te sonará, hacemos el paso al límite delta de t tendiendo a cero. Obtenemos así una velocidad angular instantánea, que nos dice lo rápido que tiende a moverse el cuerpo en cada instante de tiempo. Matemáticamente es la derivada del ángulo con relación al tiempo. Tanto la velocidad angular media como la instantánea se suelen representar con la letra griega omega.

Si crees que esto suena parecido a lo que vimos en cinemática de una dimensión, definir un desplazamiento, relacionarlo con el tiempo, obtener velocidades medias e instantáneas, estás en lo cierto, es muy similar. La gran diferencia es que ahora nuestra velocidad no es distancia en metros dividida por tiempo, sino ángulo barrido dividido por tiempo.

Se suele indicar como tiempo elevado a la menos uno, ya que a pesar de tener unidades, los ángulos no tienen dimensiones, así que las unidades de velocidad angular se ponen como uno partido por segundo o segundos a la menos uno. Cuando veas eso, recuerda que eso significa radianes por segundo, salvo que se indique expresamente otra cosa. Pero, como es ángulo dividido por tiempo, también se pueden usar otras unidades. Una de las más habituales es la vuelta o revolución por segundo, o por minuto. Si tienes a mano un tocadiscos antiguo, verás que hay un botón que pone 33 RPM o 45 RPM. Esos son revoluciones, vueltas.